Кстати, вопрос - у всех красная луна была в первую же ночь после спуска в Хайрул из первой небесной обучающей локации?

У большинства.
Красная луна запускается ночью через Х дней и Х часов реального времени в игре после предыдущей. В ТОТК вероятно добавили условие при котором она не запускается пока ты находишься на небесных островах(и вероятно в кавернах и шрайнах), так что все кто провёл вверху Х часов автоматом его получают при спуске.