Оставлю для будущих поколений: palit все-таки не палит. Или нет?
По советам из комментариев я решил обновить биос, после чего вытащил старенькую GT 730 и вернул на место 4070. Покумекав и прикинув, что не могут быть проблемы с двумя карточками сразу, достал свой древний системник. Поставил в него старый блок питания, воткнул 730 — запустился, изображение есть, воткнул в него 4070 — запустился и изображение есть.
Вытащил материнку из системника, вставил в него 4070, запитал от старого блока и... изображение появилось! вытащил новый блок питания, запитал систему и изображение не выводится. Взял комплектный переходник, подключил к доп.питанию через 8pin, и система стартует, изображение выводится. Сейчас в очередной раз снес систему, поставил заново, установил все драйвера и пока работает