Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) — наиболее широко используемый вариант аксиоматической теории множеств, являющийся фактическим стандартом для оснований математики. Сформулирована Эрнстом Цермело в 1908 году как средство преодоления парадоксов теории множеств, и уточнена Абрахамом Френкелем в 1921 году. К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC, англ. Zermelo—Fraenkel set theory with the axiom of Choice). Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка. Существуют и другие системы; например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов, при этом она равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой. Аксиомы ZFC Аксиомами ZFC называется следующая последовательность высказываний теории множеств: ...