катет равен гипотенузе геометрия

докажем, что в прямоугольном треугольнике катет равен гипотенузе :-)

Построим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90 градусов. Пусть точка D— середина BC. Проведем лучи n— биссектрису угла A, и m — серединный перпендикуляр к BC. Лучи n и m пересекаются в точке O.

Опустим из точки O перпендикуляры на стороны AB и AC. Точки M и N — основания этих перпендикуляров. Рассмотрим треугольники AMO и ANO. Они равны, так как оба они — прямоугольные, угол MAO равен углу NAO (по построению), гипотенуза AO — общая. Следовательно, OM=ON, AM=AN.

Рассмотрим треугольники COD и OBD. Они равны, так как OD — серединный перпендикуляр к BC (по построению), то есть медиана и высота треугольника COB. Следовательно, OC=OB.

Рассмотрим треугольники MCO и NBO. Они оба — прямоугольные, OC=OB , OM=ON (по доказанному), следовательно, треугольник MCO равен треугольнику NBO, и поэтому MC=NB. Как мы уже доказали, MC=NB, AM=AN. Следовательно, AC(AM+MC) = AB(AN+NB), катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать :-)

взято с источника